संपर्क में रखे गए पतले लेंसों के संयोजन के लिए समतुल्य फोकस दूरी प्राप्त कीजिए।

(N/A) मान लीजिए कि $f_{1}$ और $f_{2}$ फोकस दूरी वाले दो लेंस $A$ और $B$ एक-दूसरे के संपर्क में रखे गए हैं। मान लीजिए कि वस्तु को पहले लेंस $A$ के फोकस के बाहर बिंदु $O$ पर रखा गया है।
पहला लेंस $I_{1}$ पर एक प्रतिबिंब बनाता है। चूंकि प्रतिबिंब $I_{1}$ वास्तविक है,यह दूसरे लेंस $B$ के लिए एक आभासी वस्तु के रूप में कार्य करता है,जो अंतिम प्रतिबिंब $I$ पर बनाता है।
पहले लेंस द्वारा प्रतिबिंब का निर्माण केवल अंतिम प्रतिबिंब की स्थिति निर्धारित करने की सुविधा के लिए माना गया है। वास्तव में,पहले लेंस से निकलने वाली किरणों की दिशा उस कोण के अनुसार बदल जाती है जिस पर वे दूसरे लेंस से टकराती हैं।
चूंकि लेंस पतले हैं,हम मानते हैं कि लेंस के ऑप्टिकल केंद्र संपाती हैं। इस केंद्रीय बिंदु को $P$ द्वारा दर्शाया गया है।
पहले लेंस $A$ द्वारा निर्मित प्रतिबिंब के लिए:
$\frac{1}{v_{1}} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f_{1}} \quad \dots (1)$
दूसरे लेंस $B$ द्वारा निर्मित प्रतिबिंब के लिए:
$\frac{1}{v} - \frac{1}{v_{1}} = \frac{1}{f_{2}} \quad \dots (2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f_{1}} + \frac{1}{f_{2}} \quad \dots (3)$
यदि दो-लेंस प्रणाली को $f$ फोकस दूरी वाले एक एकल लेंस के बराबर माना जाए,तो हमारे पास है:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{f_{1}} + \frac{1}{f_{2}}$
यह व्युत्पत्ति संपर्क में रखे गए किसी भी संख्या में पतले लेंसों के लिए मान्य है। यदि $f_{1}, f_{2}, f_{3}, \dots, f_{n}$ फोकस दूरी वाले कई पतले लेंस संपर्क में हैं,तो उनके संयोजन की प्रभावी फोकस दूरी इस प्रकार दी जाती है:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{f_{1}} + \frac{1}{f_{2}} + \frac{1}{f_{3}} + \dots + \frac{1}{f_{n}}$